f ha invece un minimo locale o relativo in x0 se x0 è interno al dominio D di f, e inoltre in un intorno di x0: (x0 − δ,x0 + δ).
I punti di massimo e minimo relativo vengono anche detti punti estremanti.
Massimi e minimi per funzioni derivabili.Derivata prima
Nel caso di una funzione derivabile di una variabile reale la condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché un punto possa, eventualmente, essere di massimo o di minimo locale è data dal teorema di Fermat, in base al quale la derivata prima di una funzione deve annullarsi se calcolata in corrispondenza di un punto di massimo o minimo locale:per cui passando al limite di una funzione per si deduce che necessariamente f'(x0) = 0.
Geometricamente questa condizione significa che la retta tangente nel punto x0 è orizzontale. Tale condizione non è né necessaria né sufficiente per avere un massimo o un minimo locale: infatti da un lato ci possono essere punti di massimo o minimo locale anche laddove la funzione non è derivabile, e dall'altro ci possono essere punti (di flesso) dove la derivata si annulla ma la funzione non ha massimo o minimo locale.
Possiamo utilizzare la derivata prima per classificare i punti critici. Un punto x0 è di massimo locale per f se nei suoi intorni destro e sinistro:
Derivata secondaAlternativamente se la funzione ammette la derivata seconda in un punto, un punto è di massimo o minimo relativo se la derivata prima della funzione si annulla (quindi x0 è un punto stazionario) e la derivata seconda non si annulla. Più precisamente, posto che la derivata prima si annulli, se la derivata seconda risulta essere maggiore di 0, allora significa che la concavità sarà rivolta verso l'alto perciò il punto è di minimo. Mentre se la derivata seconda è minore di zero, significa che la concavità è rivolta verso il basso quindi si tratterà di un punto di massimo. se invece la derivata seconda si annulla, nel caso in cui la derivata terza sia diversa da zero, avremo in quel punto un flesso a tangenza orizzontale ascendende o discendente e, per la definizione di flesso, la funzione cambierà concavità in tale punto.
Funzioni di due o più variabili reali
Nel caso di funzioni in più variabili il discorso fatto è analogo, ma ad annullarsi è il gradiente della funzione. Nel caso di funzioni di due variabili, per verificare se il punto è di massimo o minimo si guarda il segno del determinante della matrice Hessiana e il primo termine della matrice: se il primo elemento della matrice è positivo e il determinante è anch'esso positivo (matrice definita positiva) si ha un minimo locale se invece il primo termine è negativo e il determinante è sempre positivo allora si ha un massimo locale. Qualora il determinante della matrice Hessiana sia negativo, allora il punto si dice punto di sella. Non dà informazioni sui punti critici il caso di determinante Hessiano nullo.
Nel caso di funzioni di 3 o più variabili invece si deve studiare il segno degli autovalori della matrice hessiana (nei punti critici, cioè dove si annulla il gradiente) e: se gli autovalori son maggiori o uguali a zero, il punto che annulla il gradiente è di minimo locale; se gli autovalori son minori o uguali a zero tale punto è di massimo locale, se gli autovalori cambiano segno il punto è di sella; se gli autovalori sono tutti nulli non danno informazioni sulla natura del punto.In caso di funzioni di due o più variabili la ricerca dei punti di massimo e minimo non si esaurisce all'interno del dominio dove la funzione è derivabile, ma si devono cercare i massimi e i minimi anche sulla frontiera, in cui in generale la funzione non è differenziabile. In tal caso nelle funzioni di due variabili si parametrizza la frontiera e si cercano i punti di massimo e di minimo come visto per una variabile reale.
Esempi
Funzione di una variabile reale
Si consideri- .
Funzione di due variabili reali
Si consideri la funzione di 2 variabili
- .
Calcoliamo le derivate parziali seconde:
- fxx = 6x
- fxy = 3
- fyy = 6y